Przykładowym problemem niestacjonarnym liniowym jest zagadnienie symulacji propagacji zanieczyszczeń [1]
W problemie tym obliczamy pole skalarne koncentracji zanieczyszczeń
\( {\cal R}^3 \ni (x,y,z)\times [0,T] \rightarrow c(x,y,z;t) \in {\cal R } \) takiego że
\( \frac{\partial c}{\partial t } + u \cdot \nabla c - \nabla \cdot (K \nabla c) = e \)
co po rozpisaniu daje nam
\( \frac{\partial c}{\partial t} + u_x\frac{\partial c}{\partial x}+u_y\frac{\partial c}{\partial y}+u_z\frac{\partial c}{\partial z} - \frac{\partial}{\partial x} \left( K_x \frac{\partial c}{\partial x}\right) -\frac{\partial}{\partial y} \left( K_y \frac{\partial c}{\partial y }\right) -\frac{\partial}{\partial z}\left( K_z \frac{\partial c}{\partial z } \right) \)
W powyższym wzorze pierwszy człon \( \frac{\partial c}{\partial t } \) to zmiany pola koncentracji zanieczyszczeń w czasie,
drugi człon \( u_x\frac{\partial c}{\partial x}+u_y\frac{\partial c}{\partial y } +u_z\frac{\partial c}{\partial z } \) to człon adwekcji (zwany też konwekcją) który oznacza transport zanieczyszczeń przez wiatr, reprezentowany przez zadane pole wektrowe \( {\cal R}^3 \ni (x,y,z)\times [0,T] \rightarrow (u_x(x,y,z;t,,u_y(x,y,z;t);u_z(x,y,z;t))) \in {\cal R }^3 \), trzeci człon \( - \frac{\partial}{\partial x} \left( K_x \frac{\partial c}{\partial x} \right)-\frac{\partial}{\partial y} \left( K_y \frac{\partial c}{\partial y }\right) -\frac{\partial}{\partial z} \left( K_z \frac{\partial c}{\partial z } \right) \) oznacza dyfuzję czyli samoistny transport cząstek zanieczyszczeń na zasadzie zjawiska dyfuzji. Wszystkie człony operatora różniczkowego opisującego proces propagacji zaniczyszczeń są liniowe, czyli \( {\cal L}(c_1+c_2)={\cal L}(c_1)+{\cal L }(c_2) \). Dzięki temu możemy zbudować układ równań liniowych i zastosować solwery i algorytmy opisane w podręczniku.
Prawa strona oznacza źródła emisji, i jest ona dodatnia w miejscach w których znajduje się źródło zanieczyszczeń (na przykład komin).
Współczynniki dyfuzji \( (K_x,K_y,K_z) \) oznaczają prędkość dyfuzji w kierunkach x,y i z.
W celu rozwiązania problemu konwekcji-dyfuzji musimy jeszcze określić co dzieje się na brzegu obszaru. Możemy na przykład przyjąć prędkość napływu zanieczyszczeń na brzegu obszaru \( \frac {\partial c} {\partial x}n_x+ \frac{\partial c}{\partial y }n_y+\frac{\partial c}{\partial z }n_z=g \) gdzie \( (n_x,n_y,n_z) \) to wektor jednostkowy prostopadły do brzegu. Musimy również podać warunek początkowy (początkową koncentracje zanieczyszczeń)
\( c(x,0)=0 \).
Na końcu podajemy dwie przykładowe symulacje, pierwszą prezentującą napływ zanieczyszczeń z zachodu na dolinę Krakowską dla obszaru otrzymanego poprzez wygenerowanie siatki czworościennej na podstawie danych topograficznych z bazy NASA oraz drugą symulację prezentującą rozwiewanie dymu z komina poprzez wiatr o zmiennym kierunku.
Zostały one policzone kodami opisanymi w artykułach z bibliografii [2]: